Question

（2012•溫州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E，F，G，H分別為四邊的中點，且都在坐標軸上，設

OP

=λ

OF

，

CQ

=λ

CF

（λ≠0）．
（Ⅰ）求直線EP與GQ的交點M的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）過圓x²+y²=r²（0＜r＜2）上一點N作圓的切線與軌跡Γ交于S，T兩點，若

NS

•

NT

+r2=0，試求出r的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）交軌法：設M（x，y），由向量關系可得P、Q點的坐標，用λ表示出直線EP、GQ的方程，消掉參數λ即得點M的軌跡方程；
（Ⅱ）由

NS

•

NT

+r2=0，得|NS||NT|=|ON|²，又由ON⊥ST，得OS⊥OT，設S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0（*），設直線ST：y=kx+m（m≠±2），與橢圓方程聯立消掉y得x的二次方程，把韋達定理代入（*得）式得關于k，m的方程；再由直線ST與圓相切得r=

|m|

1+k2

，兩方程聯立即可求得r值；

解答：解：（I）設M（x，y），由已知得P（4λ，0），Q（4，2-2λ），
則直線EP的方程為y=

x

2λ

-2，直線GQ的方程為y=-

λx

2

+2，
消去λ即得M的軌跡Γ的方程為

x2

16

+

y2

4

=1(x≠0)．
（II）由

NS

•

NT

+r2=0，得|NS||NT|=|ON|²，又ON⊥ST，則OS⊥OT，
設直線ST：y=kx+m（m≠±2），代入

x2

16

+

y2

4

=1得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
設S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-16

1+4k2

．
由OS⊥OT得x₁x₂+y₁y₂=0，即km（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+m²=0，
則5m²=16（1+k²）①，
又O到直線ST的距離為r=

|m|

1+k2

②，
聯立①②解得r=

4 5

5

∈（0，2）．
經檢驗當直線ST的斜率不存在時也滿足．
故r的值為

4 5

5

．

點評：本題考查交軌法求軌跡方程、橢圓方程、直線與圓位置關系及直線與橢圓的位置關系等知識，考查方程思想，考查學生解決問題的能力，解決（II）問的關鍵是根據條件分析出OS⊥OT，從而得到等量關系．