Question

（2012•溫州一模）已知函數f(x)滿足f(x)=2f(

1

x

)，當x∈[1，3]時，f（x）=lnx，若在區間[

1

3

，3]內，函數g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．[

  ln3

  3

  ，

  1

  e

  )
• B．[

  ln3

  3

  ，

  2

  e

  )
• C．(0，

  1

  2e

  )
• D．(0，

  1

  e

  )

Answer 1

分析：可以根據函數f(x)滿足f(x)=2f(

1

x

)，求出x在[

1

3

，1]上的解析式，已知在區間[

1

3

，3]內，函數g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，對g（x）進行求導，利用導數研究其單調性，從而求出a的范圍；

解答：解：在區間[

1

3

，3]內，函數g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，
①a＞0若x∈[1，3]時，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
若g′（x）＜0，可得x＞

1

a

，g（x）為減函數，
若g′（x）＞0，可得x＜

1

a

，g（x）為增函數，
此時f（x）必須在[1，3]上有兩個交點，
∴

g( 1 a )＞0 g(3)≤0 g(1)≤0

，解得，

ln3

3

≤a＜

1

e

①
設

1

3

＜x＜1，可得1＜

1

x

＜3，
∴f(x)=2f(

1

x

)=2ln

1

x

，此時g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=-

2+ax

x

，
若g′（x）＞0，可得x＜-

1

a

＜0，g（x）為增函數
若g′（x）＜0，可得x＞-

1

a

，g（x）為減函數，
在[

1

3

，1]上有一個交點，則

g(- 2 a )＞0 g( 1 3 )≥0 g(1)≤0

，解得0＜a≤6ln3②
綜上①②可得

ln3

3

≤a＜

1

e

；
②若a＜0，對于x∈[1，3]時，g（x）=lnx-ax＞0，沒有零點，不滿足在區間[

1

3

，3]內，函數g（x）=f（x）-ax，有三個不同的零點，
綜上：

ln3

3

≤a＜

1

e

；
故選A；

點評：此題充分利用了分類討論的思想，是一道綜合題，難度比較大，需要排除a＜0時的情況，注意解方程的計算量比較大，注意學會如何分類討論；