Question

【題目】已知函數，，.

（1）若，.

①當時，證明：；

②若有兩個不相等的零點，且，證明：；

（2）討論的單調性.

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析②證明見解析；（2）當時，在上單調遞增，在單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

【解析】

（1）①表示出的解析式，代入，求得，即可根據函數的符號判斷的單調性，從而求得最小值，即可證明不等式成立；②根據零點定義可代入的解析式，相減后根據對數運算表示出令，即可用表示構造函數，并求得導函數，即可由的符號確定的單調性，從而求得的最大值，即可得.從而，即可證明.

（2）將代入可得解析式，并求得，并令。對分、、和四種情況討論，即可確定的符號，從而判斷的單調性.

（1）證明：，.

（i）當時，，則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

故.

（ii）由題意得，，，

兩式相減得，

，，.

令，其中，則，

令，則，

所以在上是增函數，

故，即，即.

，，

即，

.

（2），

的定義域為，且.

令，，

當時，在上恒成立，即恒成立，

所以在上單調遞增；

當時，令，得，，

所以當時，，即，單調遞增，

當時，，即，單調遞減；

當時，，在上恒成立，即在上恒成立，所以在上單調遞增；

當時，，

當時，，即，單調遞減，

當時，，即，單調遞增.

綜上所述，當時，在上單調遞增，在單調遞減，

當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增.