Question

【題目】已知橢圓經過點，其左焦點為.過點的直線交橢圓于、兩點，交軸的正半軸于點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且與垂直的直線交橢圓于、兩點，若四邊形的面積為，求直線的方程；

（3）設，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意列出有關、的方程組，解出和的值，即可得出橢圓的標準方程；

（2）設直線的方程為，則，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式求出關于的表達式，同理得出關于的表達式，由可得出關于的方程，解出正數的值，即可得出直線的方程；

（3）求出點的坐標，利用向量的坐標運算可得出和的表達式，代入韋達定理計算出的值，由此可證明出結論成立.

（1）由題意得，解得，因此，橢圓的方程為；

（2）設直線，設點、，

由，消去得，

則，，

，

同理，

四邊形的面積為，

整理得，解得或，或，

因為，所以或，

因此，直線的方程為，或.

（3）在直線的方程中，令，得，即點，

，，

，，，同理可得，

.

因此，為定值.