【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）討論函數(shù)
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）設(shè)
，證明：當(dāng)
時(shí)，
.
【答案】（1）
時(shí)，無零點(diǎn)；
時(shí)，2個(gè)零點(diǎn)（2）證明見解析
【解析】
分類討論，可得
，分別
，
，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)
的最值，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
當(dāng)
時(shí)，不等式成立，當(dāng)
時(shí)，轉(zhuǎn)化為
，設(shè)
，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可證明．
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)
時(shí)，
，即，
設(shè)
，
，
當(dāng)
且時(shí)，
，即在
，
上單調(diào)遞減，
當(dāng)
時(shí)，
，即在
上單調(diào)遞遞增，
當(dāng)
時(shí)，
，
當(dāng)
時(shí)，
，當(dāng)
時(shí)，
，
分別畫出
與的圖象，如圖所示，
結(jié)合圖象可得，當(dāng)
時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)
只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，與的圖象沒有只有交點(diǎn)，即函數(shù)沒有零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
證明：當(dāng)時(shí)，
，此時(shí)a取任何數(shù)都成立，
當(dāng)時(shí)，要證當(dāng)時(shí)，
，只要證
，
即證
，
，
只要證
，，
只要證
，即證
設(shè)，，
，
令
，，
，
當(dāng)
時(shí)，
，函數(shù)
在
上單調(diào)遞增，
當(dāng)
時(shí)，
，函數(shù)在
上單調(diào)遞減，
，
，
，
，
存在
，使得
，
當(dāng)
時(shí)，
，函數(shù)
單調(diào)遞減，
當(dāng)
時(shí)，
，函數(shù)單調(diào)遞增，
，
成立，
即當(dāng)時(shí)，，
綜上所述：
時(shí)，當(dāng)
時(shí)，．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2019冠狀病毒病（CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠狀病毒（2019-nCoV）引發(fā)的疾病，目前全球感染者以百萬計(jì)，我國在黨中央、國務(wù)院、中央軍委的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下，已經(jīng)率先控制住疫情，但目前疫情防控形勢(shì)依然嚴(yán)峻，湖北省中小學(xué)依然延期開學(xué)，所有學(xué)生按照停課不停學(xué)的要求，居家學(xué)習(xí)．小李同學(xué)在居家學(xué)習(xí)期間，從網(wǎng)上購買了一套高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試卷，快遞員計(jì)劃在下午4：00～5：00之間送貨到小區(qū)門口的快遞柜中，小李同學(xué)父親參加防疫志愿服務(wù)，按規(guī)定，他換班回家的時(shí)間在下午4：30～5：00，則小李父親收到試卷無需等待的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖1，在邊長為2的等邊
中，
分別為邊
的中點(diǎn)，將AED沿
折起，使得
， 
，得到如圖2的四棱錐A-BCDE，連結(jié)
，且
與
交于點(diǎn)
．
（1）求證：
平面
;
（2）求二面角
的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式. 某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：
20以下 |
|
|
|
|
| 70以上 | |
使用人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數(shù) | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（Ⅰ）現(xiàn)隨機(jī)抽取 1 名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在
且未使用自由購的概率；
（Ⅱ）從被抽取的年齡在
使用自由購的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，用
表示這3人中年齡在
的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）為鼓勵(lì)顧客使用自由購，該超市擬對(duì)使用自由購的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購物，試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購物袋.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點(diǎn)為橢圓
的右焦點(diǎn)，C的準(zhǔn)線與E交于P，Q兩點(diǎn)，且
．
（1）求E的方程；
（2）過E的左頂點(diǎn)A作直線l交E于另一點(diǎn)B，且BO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的延長線交E于點(diǎn)M，若直線AM的斜率為1，求l的方程．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度，某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生，請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”，少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.
調(diào)查結(jié)果如下：
0項(xiàng) | 1項(xiàng) | 2項(xiàng) | 3項(xiàng) | 4項(xiàng) | 5項(xiàng) | 5項(xiàng)以上 | |
理科生（人） | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生（人） | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
（1）完成如下
列表，并判斷是否由
的把握認(rèn)為.了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)？
比較了解 | 不太了解 | 合計(jì) | |
理科生 | p> | ||
文科生 | |||
合計(jì) |
（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
（i）求抽取的文科生和理科生的人數(shù)；
（ii）從10人的樣本中隨機(jī)抽取兩人，求兩人都是文科生的概率.
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用
列聯(lián)表，由計(jì)算得
,參照下表:
| 0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
得到正確結(jié)論是( )
A. 有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”
B. 有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”
C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”
D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】我國古代勞動(dòng)人民在筑城、筑堤、挖溝、挖渠、建倉、建囤等工程中，積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出了一套有關(guān)體積、容積計(jì)算的方法，這些方法以實(shí)際問題的形式被收入我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中.《九章算術(shù)》將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，如圖所示的陽馬三視圖，則它的體積為（ ）
A.
B.1C.2D.3
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在新高考改革中，打破了文理分科的“
”模式，不少省份采用了“”，“
”，“
”等模式.其中“”模式的操作又更受歡迎，即語數(shù)外三門為必考科目，然后在物理和歷史中選考一門，最后從剩余的四門中選考兩門.某校為了了解學(xué)生的選科情況，從高二年級(jí)的2000名學(xué)生（其中男生1100人，女生900人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
（1）已知抽取的n名學(xué)生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人數(shù)；
（2）在（1）的情況下對(duì)抽取到的n名同學(xué)“選物理”和“選歷史”進(jìn)行問卷調(diào)查，得到下列2×2列聯(lián)表.請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選科目與性別有關(guān)？
選物理 | 選歷史 | 合計(jì) | |
男生 | 90 | ||
女生 | 30 | ||
合計(jì) |
（3）在（2）的條件下，從抽取的“選歷史”的學(xué)生中按性別分層抽樣再抽取5名，再從這5名學(xué)生中抽取2人了解選政治、地理、化學(xué)、生物的情況，求2人至少有1名男生的概率.
參考公式：
.
| 0.10 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 6.635 | 10.828 |
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