Question

（2010•臺州二模）已知函數f(x)=sin2ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)(ω＞0)，且函數y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若a=

3

，b=

2

，f(A)=

3

2

，求角C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函數解析式第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項第二個因式利用誘導公式化簡后，利用二倍角的正弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據相鄰對稱軸間的距離求出函數周期，利用周期公式即可求出ω的值，由正弦函數的單調遞增區間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]即可得到函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）把x=A代入第一問化簡后的函數解析式，令其值等于

3

2

，再根據A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，然后由a，sinA與b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B為三角形的內角，且根據b小于a，利用三角形的邊角關系得到B為銳角，利用特殊角的三角函數值求出B的度數，進而利用三角形的內角和定理求出C的度數．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin2ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)
=

1-cos2ωx

2

+

3

cosωxsinωx
=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

，
∵函數y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

，
∴T=π，∴ω=1…（5分）
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，∴kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
則y=f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，(k∈Z)；…（7分）
（Ⅱ）∵f(A)=

3

2

，∴sin(2A-

π

6

)=1，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，…（10分）
∵sinB=

sinA

a

•b=

2

2

，又0＜B＜

2π

3

，
∴B=

π

4

，
∴C=π-

π

3

-

π

4

=

5π

12

．…（14分）

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的單調性，正弦定理，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．