Question

（2010•臺州二模）已知函數f（x）=x|x-a|+x-2在R上恒為增函數，則a的取值范圍是

[-1，1]

．

Answer 1

分析：先取絕對值得到分段函數，要使f（x）在R上增，需要滿足二個條件：（1）f（x）在[a，+∞）上增，（2）f（x）在（-∞，a）上增，然后根據二次函數的性質建立不等式，解之即可．

解答：解：f（x）=

x2+(1-a)x-2，x≥a -x2+(1+a)x-2，x＜a

要使f（x）在R上增，需要滿足二個條件：（1）f（x）在[a，+∞）上增，（2）f（x）在（-∞，a）上增
（1）f（x）在[a，+∞）上增，則對稱軸x=

a-1

2

在區間[a，+∞）的左邊，即

a-1

2

≤a，解得a≥-1；
（2）f（x）在（-∞，a）上增，則對稱軸x=

a+1

2

在區間（-∞，a）的右邊，即

a+1

2

≥a，解得a≤1；
從而a的取值范圍是[-1，1]
故答案為：[-1，1]

點評：本題主要考查了絕對值函數和分段函數，同時考查了二次函數的性質和分類討論、轉化的數學思想，屬于中檔題．