Question

【題目】設(shè)集合是集合…，的子集．記中所有元素的和為（規(guī)定：為空集時(shí)，=0）．若為3的整數(shù)倍，則稱為的“和諧子集”．

求：（1）集合的“和諧子集”的個(gè)數(shù)；

（2）集合的“和諧子集”的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）的“和諧子集”的個(gè)數(shù)等于4．（2）

【解析】

（1）由集合的子集可得：集合A1的“和諧子集”為：：，{3}，共4個(gè)，

（2）由即時(shí)定義的理解，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法可得：討論集合An+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}中的“和諧子集”的情況，以新增元素3n+1，3n+2，3n+3為標(biāo)準(zhǔn)展開討論即可得解

（1）集合的子集有：，，，，，，，．

其中所有元素和為3的整數(shù)倍的集合有：，，，．

所以的“和諧子集”的個(gè)數(shù)等于4．

（2）記的“和諧子集”的個(gè)數(shù)等于，即有個(gè)所有元素和為3的整數(shù)倍的子集；

另記有個(gè)所有元素和為3的整數(shù)倍余1的子集，有個(gè)所有元素和為3的整數(shù)

倍余2的子集．

由（1）知，．

集合的“和諧子集”

有以下四類（考查新增元素）：

第一類 集合…，的“和諧子集”，共個(gè)；

第二類 僅含一個(gè)元素的“和諧子集”，共個(gè)；

同時(shí)含兩個(gè)元素的“和諧子集”，共個(gè)；

同時(shí)含三個(gè)元素的“和諧子集”，共個(gè)；

第三類 僅含一個(gè)元素的“和諧子集”，共個(gè)；

同時(shí)含兩個(gè)元素的“和諧子集”，共個(gè)；

第四類 僅含一個(gè)元素的“和諧子集”，共個(gè)；

同時(shí)含有兩個(gè)元素的“和諧子集”，共個(gè)，

所以集合的“和諧子集”共有個(gè)．

同理得，．

所以，，

所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為2 的等比數(shù)列．

所以．同理得．

又，所以．