Question

如圖，已知正三棱柱中，，，為上的動點.

（1）求五面體的體積；
（2）當在何處時，平面，請說明理由；
（3）當平面時，求證：平面平面.

Answer 1

（1）4；（2）為的中點；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要以正三棱柱為幾何背景,考查椎體體積、線面平行、面面垂直的判定，運用傳統幾何法求解證明，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，由圖形判斷五面體就是四棱錐，所以主要任務就是求高和底面面積；第二問，利用直線與平面平行的性質定理，證明出，所以為中點；第三問，結合第二問的結論，由線面垂直的判定定理，得出⊥平面，再由面面垂直的判定定理得出結果.
試題解析：（Ⅰ）如圖可知五面體是四棱錐，

∵側面垂直于底面，
∴正三角形的高就是這個四棱錐的高，
又，．
于是．      4分
（Ⅱ）當點為中點時，∥平面．

連結連結，∵四邊形是矩形，
∴為中點，
∵∥平面，平面平面＝，
∴，∴為的中點．                      8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知當∥平面時，為的中點．
∵為正三角形，為的中點，∴，
由平面，∴，
又，∴⊥平面，
又平面，∴平面⊥平面．                      12分
考點：1.直線與平面平行的性質定理；2.線面垂直的判定定理；3.面面垂直的判定定理.