Question

【題目】設函數φ（x）=a2x﹣ax（a＞0，a≠1）．
（1）求函數φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；
（2）當a= 時，φ（x）≤t2﹣2mt+2對所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵φ（x）=a2x﹣ax=（ax﹣ ）2﹣ （a＞0，a≠1），x∈[﹣2，2]，

∴當a＞1時，φmax（x）=φ（2）=a4﹣a2；

當0＜a＜1時，φmax（x）=φ（﹣2）=a﹣4﹣a﹣2；

∴φmax（x）= ．

（2）解：當a= 時，φ（x）=2x﹣（ ）x，

由（1）知，φmax（x）=φ（2）=（ ）4﹣（ ）2=4﹣2=2，

∴φ（x）≤t2﹣2mt+2對所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立

m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φmax（x）=2恒成立，即m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt≥0恒成立，

令g（m）=﹣2tm+t2，則 ，即 ，解得：t≥2或t≤﹣2，或t=0．

∴實數m的取值范圍為：（﹣∞，2]∪{0}∪[2，+∞）．

【解析】（1）利用指數函數的單調性，分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論，即可求得函數φ（x）在[﹣2，2]上的最大值；（2）當a= 時，φ（x）≤t2﹣2mt+2對所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立m∈[﹣1，1]，t2﹣2mt+2≥φmax（x）=2恒成立，構造函數g（m）=﹣2tm+t2，則 ，解之即可得到實數m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．