Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，點E為PC的中點，EF⊥PB，垂足為F點．

（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求證：PB⊥平面EFD；
（3）求異面直線BE與PA所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，以點D為坐標原點，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立空間直角坐標系，得以下各點坐標：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），P（0，0，2）…（1分）

連接AC，AC交BD于點G，連接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G為AC的中點．G點坐標為（1，1，0）．

又E為PC的中點，E點坐標為（0，1，1），

∴ =（2，0，﹣2）， =（1，0，﹣1）

∴ =2

∴PA∥EG

∵EG平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB

（2）證明：∵ =（2，2，﹣2）， =（0，1，1）

∴ =0

∴PB⊥DE

又∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD．

（3）解：∵ =（﹣2，﹣1，1）， =（2，0，﹣2），

∴|cos＜ ， ＞|=| |= ，

∴異面直線BE與PA所成角的大小為30°．

【解析】（1）以點D為坐標原點，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，連接AC，AC交BD于點G，連接EG．分別求出PA，EG的方向向量，易判斷PA與EG平行，進而由線面平行的判定定理得到答案．（2）分別求出DE與PB的方向向量，由它們的數(shù)量積為0，易得DE⊥PB，再由EF⊥PB結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到答案．（3）求出 =（﹣2，﹣1，1）， =（2，0，﹣2），即可求異面直線BE與PA所成角的大小．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．