Question

【題目】已知函數 ，其中ω＞0． （I）若對任意x∈R都有 ，求ω的最小值；
（II）若函數y=lgf（x）在區間 上單調遞增，求ω的取值范圍

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知f（x）在 處取得最大值，

∴ ；

解得 ，

又∵ω＞0，∴當k=0時，ω的最小值為2；

（Ⅱ）解法一：∵ ，

∴ ，

又∵y=lgf（x）在 內單增，且f（x）＞0，

∴ ．

解得： ．

∵ ，∴ 且k∈Z，

又∵ω＞0，∴k=0，

故ω的取值范圍是 ．

解法二：根據正弦函數的圖象與性質，得 ，

∴ ，∴0＜ω≤4，

又y=lgf（x）在 內單增，且f（x）＞0，

∴ ；

解得： ；

可得k=0，所以ω的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）由題意知f（x）在 處取得最大值，令 ，求出ω的最小值；（Ⅱ）解法一：根據題意，利用正弦函數和對數函數的單調性，列出不等式求出ω的取值范圍．

解法二：根據正弦函數的圖象與性質，結合復合函數的單調性，列出不等式求出ω的取值范圍．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復合函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”．