Question

設P（x₀,y₀）是橢圓(a>b>0)上任意一點，F₁為其左焦點.

（1）求|PF₁|的最小值和最大值;

(2)在橢圓上求一點P，使這點與橢圓兩焦點的連線互相垂直.

Answer 1

解:（1）對應于F₁的準線方程為x=，根據橢圓的第二定義：,∴|PF₁|=a+ex₀.又-a≤x₀≤a,

∴當x₀=-a時，|PF₁|_min=a+(-a)=a-c;

當x₀=a時，|PF₁|_max=a+·a=a+c.

(2)∵a²=25,b²=5,∴c²=20,e²=.

∵|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,∴(a+ex₀)²+(a-ex₀)²=4c^2.將數據代入得25+=40.      

∴x₀=±.代入橢圓方程得P點的坐標為（,）.(,-),(-,)，(-,-).