Question

設P（x₀，y₀）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一動點，F₁，F₂是橢圓的兩焦點，當x₀=

 

時，|PF₁||PF₂|的積最大為

 

；當x₀=

 

時，|PF₁||PF₂|的積最小為

 

．

Answer 1

分析：當點P位于橢圓在x軸上的頂點處時，|PF₁||PF₂|的積最大；當點P位于橢圓在y軸上的頂點處時，|PF₁||PF₂|的積最小．

解答：解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₁||PF₂|≤(

|PF1| +|PF2|

2

)2=a2，
當且僅當|PF₁|=|PF₂|時取等號，
∴當|PF₁||PF₂|的積最大時，x₀=0．
結合橢圓的圖象可知，當點P位于（-a，0）或（a，0）時，|PF₁||PF₂|的積最小，其最小值為（a+c）（a-c）=a²-c²=b²，
此時x₀=-a或x₀=a．
答案：0，a²，-a或a，b²．

點評：作出橢圓的草圖，結合圖象效果更好．