Question

【題目】設點為橢圓的左焦點，直線被橢圓截得弦長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）圓與橢圓交于兩點， 為線段上任意一點，直線交橢圓于兩點為圓的直徑，且直線的斜率大于，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）首先直線方程和橢圓方程聯立，然后根據對稱可知，弦長為 ，最后代入聯立的結果，可得 ；（2）首先設 ， 根據點差法，以及中點坐標公式，得到 ,并且得到直線的方程，聯立橢圓方程得到點 的坐標，并且得到直線的斜率，設，聯立橢圓方程，得到根與系數的關系，并且代入 ,表示為的函數求值域.

試題解析：（1）由，得，故，解得，

故橢圓的方程為．

（2）設，則，又，

所以，則，故，

則直線的方程為，即，代入橢圓的方程并整理得，

則，故直線的斜率，

設，由，得，

設，則有，

又，

所以

，

因為，所以，

即的取值范圍是．