Question

某地區舉行環保知識大賽，比賽分初賽和決賽兩部分，初賽采用選用選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選題答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題直接進入決賽，答錯3次者則被淘汰，已知選手甲連續兩次
答錯的概率為（已知甲回答每個問題的正確率相同，且相互之間沒有影響）
（I）求甲選手回答一個問題的正確率；
（II）求選手甲進入決賽的概率；
（III）設選手甲在初賽中的答題的個數為并求出的數學期望。

Answer 1

解：（I）設甲答對一個問題的正確率為P₁
由題意：
所以，甲答對一個問題的正確率為  ………………3分
（II）甲答了3道題進入決賽的概率為
甲答了4道題進入決賽的概率為
甲答了5道題進入決賽的概率為
故選手甲進入決賽的概率為
所以，選手甲進入決賽的概率為  ………………7分
（III）的取值為3，4，5，其中