Question

已知函數，.
(Ⅰ)若，求函數在區間上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范圍.
注：是自然對數的底數

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）將代入函數解析式，并將函數解析式中的絕對值去掉，寫成分段函數，并將定義域分為兩部分：與，利用導數分別求出函數在區間與上的最大值與最小值，然后進行比較，最終確定函數在區間上的最大值與最小值；（Ⅱ）利用參數分離法將不等式進行轉化，借助“大于最大值，小于最小值”的思想求參數的取值范圍，不過在去絕對值符號的時候要對自變量的范圍進行取舍（主要是自變量的范圍決定的符號）.
試題解析：(Ⅰ) 若，則.
當時，，
，
所以函數在上單調遞增；
當時，，
.
所以函數在區間上單調遞減，
所以在區間上有最小值，又因為，
，而，
所以在區間上有最大值.
(Ⅱ)函數的定義域為．
由，得．           （*）
（ⅰ）當時，，，
不等式（*）恒成立，所以；
（ⅱ）當時，
①當時，由得，即，
現令， 則，
因為，所以，故在上單調遞增，
從而的最小值為，因為恒成立等價于，
所以；
②當時，的最小值為，而，顯然不滿足題意.
綜上可得，滿足條件的的取值范圍是.