Question

橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點．
（1）如果點A在圓x²+y²=c²（c為橢圓的半焦距）上，且|F₁A|=c，求橢圓的離心率；
（2）若函數，（m＞0且m≠1）的圖象，無論m為何值時恒過定點（b，a），求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵點A在圓x²+y²=c²上，
∴△AF₁F₂為一直角三角形，
∵
由橢圓的定義知：|AF₁|+|AF₂|=2a，∴c+2c=2a
∴e===-1
（2）∵函數x的圖象恒過點
∴，
點F₁（-1，0），F₂（1，0），
①若AB⊥x軸，則A，
∴
②若AB與x軸不垂直，設直線AB的斜率為k，則AB的方程為y=k（x+1）
由消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0（*）
∵△=8k²+8＞0，∴方程（*）有兩個不同的實根．
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程（*）的兩個根
，
=
∵
，
由①②知．
分析：（1）根據題意判斷出∴△AF₁F₂為一直角三角形，利用勾股定理求得|F₂A|利用橢圓的定義求得|AF₁|+|AF₂|=2a，進而求得a和c的關系，則橢圓的離心率可得．
（2）利用函數的圖象恒過定點，求得a和b，則c可求得，求得橢圓的兩焦點，先看AB⊥x軸時，求得A，B的坐標，進而求得的坐標，則可求得；再看AB與x軸不垂直，設直線AB的方程，與橢圓的方程聯立消去y，利用判別式求得k的范圍，設出A，B的坐標，進而表示出x₁+x₂和x₁x₂，的坐標進而求得的表達式，利用k的范圍確定的范圍．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及了橢圓的基本性質，向量的運算，考查了知識的綜合運用和基本的運算能力．