Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與y=x+2相切．
（1）求a與b；
（2）設該橢圓的左、右焦點分別為F₁和F₂，直線l過F₂且與x軸垂直，動直線l₂與y軸垂直，l₂交l₁與點P．求PF₁線段垂直平分線與l₂的交點M的軌跡方程，并說明曲線類型．

Answer 1

分析：（1）由題意以原點為圓心，橢圓短軸長為半徑的圓與y=x+2相切．圓心到直線的距離等于半徑，以及離心率解得a與b．
（2）求出焦點坐標，設出P求出N，再設M、（x，y），利用垂直關系可求得軌跡方程．

解答：解：（1）e=

3

3

，∴

b2

a2

=

2

3

，
又b=

2

1+1

=

2

，∴a=

3

，b=

2

．
（2）由（1）知F₁，F₂分別為（-1，0），（1，0），
由題意可設P（1，t），（t≠0）那么線段PF₁中點為N（0，

t

2

），
設M（x，y）是所求軌跡上的任意點，由

MN

=（-x，

t

2

-y），

PF1

=（-2，-t）
則

MN • PF1 =2x+t(y- t 2 )=0 y=t

，
消t得y²=-4x（x≠0）其軌跡為拋物線除原點的部分．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，軌跡方程，橢圓的性質等知識，是綜合性較強的題目．