Question

【題目】如圖，已知三棱柱BCF﹣ADE的側(cè)面CFED與ABFE都是邊長(zhǎng)為1的正方形，M、N兩點(diǎn)分別在AF和CE上，且AM=EN．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求證：MN∥平面BCF；
（3）若點(diǎn)N為EC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為EF上的動(dòng)點(diǎn)，試求PA+PN的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵四邊形CFED與ABFE都是正方形
∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，
又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE
∵AB平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE
（2）證法一：過(guò)點(diǎn)M作MM1⊥BF交BF于M1 ，
過(guò)點(diǎn)N作NN1⊥CF交BF于N1 ， 連結(jié)M1N1 ，
∵M(jìn)M1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1
又∵，
∴MM1=NN1
∴四邊形MNN1M1為平行四邊形，
∴MN∥N1M1 ， 又MN面BCF，N1M1面BCF，∴MN∥面BCF．
[法二：過(guò)點(diǎn)M作MG⊥EF交EF于G，連結(jié)NG，則，∴NG∥CF
又NG面BCF，CF面BCF，∴NG∥面BCF，
同理可證得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF
∵M(jìn)N平面MNG，∴MN∥面BCF．
（3）如圖將平面EFCD繞EF旋轉(zhuǎn)到與ABFE在同一平面內(nèi)，則當(dāng)點(diǎn)
A、P、N在同一直線上時(shí)，PA+PN最小，
在△AEN中，∵
由余弦定理得AN2=AE2+EN2﹣2AEENcos135°，
∴AN=，
即．

【解析】（1）四邊形CFED與ABFE都是正方形，利用線面垂直可得EF⊥平面ADE，再根據(jù)EF∥AB，得出AB⊥平面ADE，最后利用面面垂直的判定得出結(jié)論；
（2）證法一：過(guò)點(diǎn)M作MM1⊥BF交BF于M1 ， 過(guò)點(diǎn)N作NN1⊥CF交BF于N1 ， 連結(jié)M1N1 ， 先證得四邊形MNN1M1為平行四邊形，得MN∥N1M1 ， 再根據(jù)線面平行的判定得到MN∥面BCF．
法二：過(guò)點(diǎn)M作MG⊥EF交EF于G，連結(jié)NG，得出平面MNG∥平面BCF，最后利用面面平行的性質(zhì)得出MN∥面BCF；
（3）將平面EFCD繞EF旋轉(zhuǎn)到與ABFE在同一平面內(nèi)，則當(dāng)點(diǎn)A、P、N在同一直線上時(shí)，PA+PN最小．通過(guò)解△AEN，利用余弦定理求出AN即可。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．