Question

如圖所示的多面體中，EF丄平面AEB，AE丄EB，AD∥EF，BC∥EF，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點
（1）求證：BD丄EG；
（2）求平面DEG與平面DEF所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）先證明EB，EF，EA兩兩垂直，以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x，y，z，建立空間直角坐標系，證明

BD

•

EG

=0，即可證明BD丄EG；
（2）

EB

=(2，0，0)是平面DEF的法向量，平面DEG的法向量為

n

=(1，-1，1)，利用數量積公式，即可得到平面DEG與平面DEF所成二面角．

解答：（1）證明：∵EF丄平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB
∴EF⊥AE，EF⊥BE
∵AE丄EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直
以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x，y，z，建立如圖所示的空間直角坐標系，則E（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，2），G（2，2，0）
∴

EG

=(2，2，0)，

BD

=(-2，2，2)
∴

BD

•

EG

=0
∴BD丄EG；
（2）解：已知得

EB

=(2，0，0)是平面DEF的法向量
設平面DEG的法向量為

n

=(x，y，z)，∵

EG

=(2，2，0)，

ED

=(0，2，2)
∴

2x+2y=0 2y+2z=0

，∴可取

n

=(1，-1，1)
設平面DEG與平面DEF所成二面角θ
∴cosθ=

2

2× 3

=

3

3

∴平面DEG與平面DEF所成二面角為arccos

3

3

．

點評：本題考查線線垂直，考查面面角，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，利用坐標表示向量，屬于中檔題．