Question

在如圖所示的多面體中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA=2，EC=1．
（Ⅰ）求點A到平面BDE的距離；
（Ⅱ）求二面角B-ED-A的正切值．

Answer 1

分析：（I）設點A到平面BDE的距離為h，然后根據V_B-ADE=V_A-BDE建立等式關系，求出h，即為點A到平面BDE的距離；
（II）取AC的中點M，連接BM，過M作MN⊥DE，交DE于N，連接BN，易知∠BNM是所求二面角的平面角，然后設AC、DE的延長線相交于點P，根據△MNP∽△DAP求出MN，可求出
二面角B-ED-A的正切值．

解答：解：（Ⅰ）∵DE=BE=

5

，BD=2

2

，
∴S_△BDE=

6

，設點A到平面BDE的距離為h．
又∵S_△ABC=

3

，V_B-ADE=V_A-BDE
∴

1

3

•

3

•2=

1

3

•

6

•h∴h=

2

即點A到平面BDE的距離為

2

． …（6分）
（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC，∴平面DACE⊥平面ABC
取AC的中點M，連接BM，則BM⊥AC，BM⊥平面DACE．
過M作MN⊥DE，交DE于N，連接BN，則BN⊥DE，∴∠BNM是所求二面角的平面角．
設AC、DE的延長線相交于點P，∵DA=2EC，∴CP=2由△MNP∽△DAP得

MN

MP

=

DA

DP

，
MP=3，DA=2，DP=2

5

，∴MN=

3

5

又∵BM=

3

，∴tan∠BNM=

15

3

．  …（12分）

點評：本題主要考查了點到面的距離的度量以及二面角平面角的度量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．