Question

在如圖所示的多面體中，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為2，四邊形ABCD是菱形．
（1）求證：AD⊥平面BCC₁B₁
（2）求該多面體的體積．

Answer 1

分析：（1）通過證線線垂直⇒線面垂直即可．
（2）幾何體是一個三棱柱與四棱錐的組合體，分別判定幾何體的底面與高，根據公式求解即可．

解答：解：（1）證明：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∴BB₁⊥AD
∵四邊形ABDC是菱形，∴AD⊥BC
又BB₁，BC?平面BB₁C₁C，且BC∩BB₁=B
∴AD⊥平面BCC₁B₁
（2）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V_棱柱=S_△ABC×AA₁=

1

2

×2×2×

3

2

×2=2

3

；
∵AD⊥平面BCC₁B₁，∴四棱錐D-B₁C₁CB的高為

1

2

AD
∴四棱錐D-B₁C₁CB的體積為V_棱錐=

1

3

×2×2×

3

=

4

3

3

∴該多面體的體積V=V_棱錐+V_棱柱=

10

3

3

．

點評：本題考查線面垂直的判定與空間幾何體的體積．V_椎體=

1

3

Sh，V_柱體=Sh．