Question

【題目】直線1通過點P（1，3）且與兩坐標軸的正半軸交于A、B兩點．
（1）直線1與兩坐標軸所圍成的三角形面積為6，求直線1的方程；
（2）求OA+OB的最小值；
（3）求PAPB的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線l的方程為y﹣3=k（x﹣1）（k＜0），

由x=0，得y=3﹣k，由y=0，得x= ，

∴ =6，解得：k=﹣3

（2）解：OA+OB=3﹣k+1﹣ =4+（﹣k）+（﹣ ） ．

當且僅當﹣k=﹣ ，即k=﹣ 時上式“=”成立

（3）解：設直線l的傾斜角為α，則它的方程為 （t為參數），

由A、B是坐標軸上的點，不妨設yA=0，xB=0，

∴0=3+tsinα，即PA=|t|= ，

0=3+tcosα，即PB=|t|=﹣ ．

故PAPB= =﹣ ．∵90°＜α＜180°，

∴當2α=270°，即α=135°時，PAPB有最小值．

∴直線方程為 （t為參數），化為普通方程即x+y﹣4=0

【解析】（1）設出直線l的方程為y﹣3=k（x﹣1）（k＜0），求出直線在兩坐標軸上的截距，代入三角形面積公式得答案；（2）寫出OA+OB的含有k的代數式，利用基本不等式求得最值；（3）設出直線l的參數方程，利用t的幾何意義求出PA，PB然后利用三角函數求最值．
【考點精析】關于本題考查的截距式方程，需要了解直線的截距式方程：已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中才能得出正確答案．