Question

已知函數f（x）滿足：對任意x∈R，x≠0，恒f(

1

x

)=x成立，數列{a_n}，{b_n}滿足a₁=1，b₁=1，且對任意n∈N^*，均有an+1=

anf(an)

f(an)+2

，bn+1-bn=

1

an

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（3）對于λ∈[0，1]，是否存在k∈N^*，使得當n≥k時，b_n≥（1-λ）f（a_n）恒成立？若存在，試求k的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意，在式子f(

1

x

)=x中用

1

x

代替x，可得函數f（x）的解析式；
（2）由f（x）的解析式化簡整理，得到

1

an+1

=

1

an

+2，得{

1

an

}構成等差數列，結合題中數據即可求出

1

an

=2n-1，所以a_n=

1

2n-1

．再由bn+1-bn=

1

an

利用累加的方法，結合等差數列求和公式即可算出b_n的表達式；
（3）根據{a_n}、{b_n}的通項公式，將不等式b_n≥（1-λ）f（a_n）化簡整理得（2n-1）λ+n²-4n+3≥0，因此設
g（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3為關于λ的一次函數，原不等式恒成立等價于

g(0)≥0 g(1)≥0

，解之可得n≤1或n≥3．
由此可得存在正整數k的最小值為3，滿足當n≥k時b_n≥（1-λ）f（a_n）恒成立．

解答：解：（1）∵對任意x∈R，x≠0，恒f(

1

x

)=x成立，
∴用

1

x

代替x，可得f（x）=

1

x

即函數f（x）的解析式為f（x）=

1

x

（x≠0）；
（2）由an+1=

anf(an)

f(an)+2

，可得

1

an+1

=

1

an

+

2

anf(an)

∵a_n•f（a_n）=1，
∴

1

an+1

=

1

an

+2，得數列{

1

an

}構成以1為首項，2為公差的等差數列
可得

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，所以a_n=

1

2n-1

∵bn+1-bn=

1

an

=2n-1
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+（1+3+5+…+2n-3）=n²-2n+2
綜上所述，{a_n}的通項公式為a_n=

1

2n-1

，{b_n}的通項公式為b_n=n²-2n+2．
（3）對于λ∈[0，1]時，b_n≥（1-λ）f（a_n）恒成立
等價于λ∈[0，1]時，n²-2n+2≥（1-λ）（2n-1）恒成立
即（2n-1）λ+n²-4n+3≥0在λ∈[0，1]時恒成立
設g（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，可得

g(0)≥0 g(1)≥0

，
即

n2-4n+3≥0 n 2-2n+2≥0

，解之得n≤1或n≥3．
由此可得存在k∈N^*，使得當n≥k時，b_n≥（1-λ）f（a_n）恒成立，k的最小值為3．

點評：本題給出函數關系式，求數列列{a_n}、{b_n}的通項公式，并討論不等式恒成立的問題．著重考查了等差數列的通項與求和公式、一次函數的圖象與性質和不等式恒成立的處理等知識，屬于中檔題．