Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=

1

2

．
（1）若n∈N^*時，求f（n）的表達式；
（2）設bn=

nf(n+1)

f(n)

  (n∈N*)，s_n=b₁+b₂+…+b_n，求

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

．

Answer 1

分析：（1）在等式中令x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）f（1），即

f(n+1)

f(n)

=f(1)=

1

2

，可判斷{f（n）}為等比數(shù)列，從而可求通項公式；
（2）由（1）易求b_n，利用等差數(shù)列求和公式可得s_n，

1

Sn

，利用裂項相消法可求得結果；

解答：解：（1）∵f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），f(1)=

1

2

，
∴f（n+1）=f（n）f（1），即

f(n+1)

f(n)

=f(1)=

1

2

，
∴{f（n）}為首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴f(n)=(

1

2

)(

1

2

)n-1=

1

2n

；
（2）∵

f(n+1)

f(n)

=

1

2

，∴bn=

nf(n+1)

f(n)

 =

n

2

，
∴s_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

×

n(n+1)

2

=

n(n+1)

4

，
∴

1

sn

=

4

n(n+1)

=4(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

s1

+

1

s2

+…+

1

sn

=4(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

4n

n+1

．

點評：本題考查數(shù)列求和、等比數(shù)列等差數(shù)列的通項公式，裂項相消法對數(shù)列求和高考考查的重點內容，應熟練掌握．