Question

【題目】已知函數 .

（Ⅰ）當時，求的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ）若函數有兩個不同零點， ，且，求證： ，其中是的導函數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y＝2x－1；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（I）利用導數的幾何意義即可得出的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）由于的圖象與軸交于兩個不同的點， ，可得方程的兩個根為， ，得到，可得，經過變形只要證明，通過換元再利用導數研究其單調性即可得出．

試題解析：（Ⅰ）當時， ， ，切點坐標為，切線的斜率，∴切線方程為，即．

（Ⅱ）∵的圖象與軸交于兩個不同的點， ，∴方程的兩個根為， ，則，兩式相減得，又， ，則，下證（*），即證明，令，∵，∴，即證明在上恒成立，∵，又，∴，∴在上是增函數，則，從而知，故（*）式，即成立.