Question

【題目】已知函數.

（1）若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍；

（2）求當時， 恒成立的的取值范圍，并證明

.

Answer 1

【答案】(1)ae （2）見解析

【解析】試題分析：(1) 函數有兩個不同的零點，等價于=在

（，+）上有兩實根，利用導數研究函數的單調性，結合函數圖象即可得結果；（2）結合(1)可得<,令,

,各式相加，化簡即可得結果.

試題解析：(1) f(x)有兩個零點， 在（，+）上有兩實根，顯然a

=,令g(x)= , g/(x)= ,令g/(x)=0，x

∴g(x)在（0， ）單調遞增，在（，+）單調遞減，又g()=,x>1時g(x)>0.且 g(x) 0

∴= 有兩根須0<<, ∴ae

（2）x2-alnx0恒成立，即x2>2alnx對x>1恒成立.當a時，顯然滿足。

當a>時, >,由（1）知，(g(x))MAX=,, ∴0＜a＜e

綜上x2-alnx0對x>1恒成立的a的范圍為a＜e

令a=2，則x2-2lnx0對x>1恒成立，即lnx<x2,令x=,k=2,3,4,…，n

lnk<k,ln2, ln3, ln4,…，lnn<n,

∴ln2+ ln3+ ln4+…+ lnn<= .