Question

【題目】已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足

（Ⅰ）當點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點做直線與軌跡交于兩點，若在軸上存在一點，使得是以點為直角頂點的直角三角形，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）本問考查求軌跡方程，設動點，由于點在軸上，點在軸的正半軸上，于是可以根據條件表示出，再根據，坐標表示后整理可求出N點的軌跡方程，注意曲線上點坐標的取值范圍；（Ⅱ）本問考查直線與拋物線位置關系，由題分析，直線的斜率顯然存在且不為0，于是可設方程為，與曲線C的方程聯立，消去未知數x，得到關于y的一元二次方程，設，于是得出， ，根據弦長公式求出，若在軸上存在一點，使得是以為直角頂點的直角三角形，則點到軸的距離不大于，轉化為關于的不等式，可以求出取值范圍.

試題解析:（Ⅰ）設點,由,得,

由得，所以

又因為點在軸的正半軸上，所以,所以

（Ⅱ）設直線

得直線的方程代入,得，①

又是方程①的兩個不相等的實根，

由，解得 ②

線段的中點的坐標為

在軸上存在一點，使得是以為直角頂點的直角三角形，

點到軸的距離不大于，即

化簡，得，解得

結合②得直線的斜率的取值范圍為.