Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓和拋物線交于兩點(diǎn)，且直線恰好通過橢圓的右焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)的直線和橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，

其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由知，可設(shè)，其中，把，代入橢圓方程中解得，故橢圓方程為

（2）知直線的斜率不為零，故可設(shè)直線方程為，設(shè)，由已知，從而，由于均在橢圓上，故有：，三式結(jié)合化簡得

，把直線方程為和橢圓方程聯(lián)立并結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得的值

試題解析：（1）由知，可設(shè)，其中

由已知，代入橢圓中得：即，解得

從而，

故橢圓方程為

（2）設(shè)，由已知

從而，由于均在橢圓上，故有：

第三個(gè)式子變形為：

將第一，二個(gè)式子帶入得： （*）

分析知直線的斜率不為零，故可設(shè)直線方程為，與橢圓聯(lián)立得：

，由韋達(dá)定理

將（*）變形為：

即

將韋達(dá)定理帶入上式得：，解得

因?yàn)橹本�的斜率，故直線的斜率為