Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 已知a1=1， ，n∈N* ．
（1）求a2的值；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數n，有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時， ，解得a2=4
（2）解： ①

當n≥2時， ②

①﹣②得

整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即 ，

當n=1時，

所以數列{ }是以1為首項，1為公差的等差數列

所以 =n，即

所以數列{an}的通項公式為 ，n∈N*

（3）證明：因為 （n≥2）

所以 = ．

當n=1，2時，也成立

【解析】（1）利用已知a1=1， ，n∈N* ． 令n=1即可求出；（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化為 ， ．再利用等差數列的通項公式即可得出；（3）利用（2），通過放縮法 （n≥2）即可證明．