Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）用五點法作出函數(shù)f（x）一個周期內的圖象；
（3）當x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值及相應的x的值．

Answer 1

分析：（1）化簡函數(shù)解析式2sin（2x+

π

6

），利用周期公式求出f（x）的最小正周期．
（2）利用五點作圖法，列表后可作出函數(shù)的圖象．
（3）由（1）知在區(qū)間[0，

π

6

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上為減函數(shù)，從而求得最值．

解答：解：（1）由f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1，得f(x)=

3

(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π
2）列表如下：

2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
y	0	2	0	-2	0

（3）因為f(x)=2sin(2x+

π

6

)在區(qū)間[0，

π

6

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上為減函數(shù)，則最大值f(

π

6

)=2，最小值f(

π

2

)=-1．

點評：本題主要考查兩角和與差的正弦定理和正弦函數(shù)的五點作圖法的應用，考查基礎知識的綜合應用．