Question

已知函數f(x)=

2-x

x+1

；
（1）求出函數f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數；
（3）是否存在負數x₀，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x₀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先對函數利用分離常數的方法進行化簡變形，再根據解析式與反比例函數進行比較，求出對稱中心；
（2）直接利用單調減函數的定義進行證明，先在（-1，+∞）上任取兩點，并規定大小關系，將它們的函數值進行作差，判定符號即可；
（3）假設存在負數x₀分別計算出函數f（x）的值域與函數3^x的值域，找兩個值域之間是否存在交集，從而找出矛盾即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

2-x

x+1

=

-x-1+3

x+1

=-1+

3

x+1

∴函數f（x）的對稱中心為（-1，-1）
（2）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂
∵f(x1)-f(x2)=

2-x1

x1+1

-

2-x2

x2+1

=

3x2-3x1

(x1+1)(x2+1)

＞0
∴函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數
（3）不存在
f(x)=-1+

3

x+1

，
由x₀＜0得：f（x₀）＜-1或f（x₀）＞2但0＜3x0＜1，
所以不存在．

點評：本題主要考查了函數單調性的證明與判定，以及函數恒成立問題與對稱中心的求解，屬于中檔題．