Question

已知，
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，求證：x≤e^g（x）-2在成立
（Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并證明當(dāng)n＞2，n∈N^*時(shí)，（e為自然對(duì)數(shù)lnx的底數(shù)）

Answer 1

（Ⅰ）解：函數(shù)
所以在（0，+∞）上有解，
即ax²+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，由ax²+3x-1＞0得
因?yàn)楫?dāng)x＞0，
所以a的范圍是…（4分）
（Ⅱ）證明：原不等式即為f（x）＜g（x）-2，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）+2
∴∴，
∴對(duì)于恒成立，
∴φ（x）單調(diào)遞增
∴=
∴f（x）＜g（x）-2
∴x≤e^g（x）-2在成立，原不等式得證 …（9分）
（Ⅲ）解：∵，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，
∴
所以函數(shù)m（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
所以m（x）≤m（1），即f（x）-x的最大值為-1
證明：由m（x）≤m（1）得lnx≤-1+x
∴，
∴=…（14分）
分析：（Ⅰ）函數(shù)，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，等價(jià)于在（0，+∞）上有解，即ax²+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，再利用分離參數(shù)法，即可求得a的范圍；
（Ⅱ）原不等式即為f（x）＜g（x）-2，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=f（x）-g（x）+2，可確定φ（x）單調(diào)遞增，從而原不等式得證；
（Ⅲ）根據(jù)，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)m（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，從而可得f（x）-x的最大值為-1，進(jìn)而可得lnx≤-1+x，再利用放縮法即可證得．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式，考查放縮法的運(yùn)用，綜合性比較強(qiáng)．