Question

已知函數f（x）=lnx+x，g（x）=ax²（a≠0）
（1）若a=1，求函數H（x）=f（x）-g（x）的單調區間；
（2）若函數H（x）=f（x）-g（x）在其定義域上不單調，求實數a的取值范圍；
（3）若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象在公共點P處有相同的切線，求實數a的值并求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）a=1時寫出H（x）的表達式，求導數H′（x），然后在定義域內解不等式H′（x）＞0，H′（x）＜0即可；
（2）H（x）在定義域內不單調，則函數H′（x）在（0，+∞）內有零點，且在零點兩側函數值異號，據此得一不等式組，解出即可；
（3）設P（x₀，y₀），則lnx₀+x₀=ax02，f′（x₀）=g′（x₀），聯立消掉a可得關于x₀的方程，構造函數，根據函數單調性可求得唯一x₀值，進而可求a值；

解答：解：（1）當a=1時，H（x）=f（x）-g（x）=lnx+x-x²，定義域為（0，+∞），
H′（x）=

1

x

+1-2x=-

(2x+1)(x-1)

x

，
當0＜x＜1時，H′（x）＞0，當x＞1時，H′（x）＜0，
所以函數H（x）的增區間為（0，1），減區間為（1，+∞）；
（2）H（x）=lnx+x-ax²，H′（x）=

1

x

+1-2ax=

1+x-2ax2

x

，
因為H（x）在定義域內不單調，則函數h（x）=1+x-2ax²在（0，+∞）內有零點，且在零點兩側函數值異號，
又h（0）=1＞0，則有

a＜0 1 4a ＞0 △=1-4×(-2a)×1＞0

或

a＞0 h(0)＞0

，解得a＞0．
故實數a的取值范圍為（0，+∞）．
（3）設P（x₀，y₀），則lnx₀+x₀=ax02①，f′（x₀）=g′（x₀），即

1

x0

+1=2ax0，化簡得x₀+1=2ax02②
聯立①②消a得，lnx₀+

1

2

x0-

1

2

=0，
令φ（x）=lnx+

1

2

x-

1

2

，易知φ（x）=lnx+

1

2

x-

1

2

在（0，+∞）上單調遞增，又φ（1）=0，
所以lnx+

1

2

x-

1

2

=0有唯一解1，即x₀=1，則y₀=f（1）=1，g（1）=a=1，
故P（1，1），a=1．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及導數的幾何意義，考查學生靈活運用所學知識分析問題解決問題的能力，屬難題．