Question

已知

a

=(1-cosx，2sin

x

2

)，

b

=(1+cosx，2cos

x

2

)，設f(x)=2+sinx-

1

4

|

a

-

b

|2．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）若函數g（x）和函數f（x）的圖象關于原點對稱，
（ⅰ）求函數g（x）的解析式；
（ⅱ）若函數h（x）=g（x）-λf（x）+1在區間[-

π

2

，

π

2

]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用向量數量積的坐標表示整理可得f（x）=sin²x+2sinx；
（II）（i）設函數y=f（x）的圖象上任一點M（x₀，y₀）關于原點對稱點N，然后將點M代入解析式即可．
（ii）先求出函數h（x）的解析式，然后設sinx=t，從而可知?（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1），再由λ＜-1時和當λ＞-1時求出范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2+sinx-

1

4

[4cos2x+4(sin

x

2

-cos

x

2

)2]=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx…（4分）
（Ⅱ）設函數y=f（x）的圖象上任一點M（x₀，y₀）關于原點的對稱點為N（x，y）
則x₀=-x，y₀=-y，…．（5分）
∵點M在函數y=f（x）的圖象上∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即∴y=-sin²x+2sinx
∴函數g（x）的解析式為g（x）=-sin²x+2sinx     …（7分）
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1，
設sinx=t，（-1≤t≤1）…（9分）
則有?（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）
當λ=-1時，?（t）=4t+1在[-1，1]上是增函數，∴λ=-1  …（11分）
當λ≠-1時，對稱軸方程為直線t=

1-λ

1+λ

．
ⅰ） λ＜-1時，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1
ⅱ）當λ＞-1時，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0
綜上：λ≤0．∴實數λ的取值范圍為（-∞，0]…（14分）

點評：此題考查了同角三角函數的基本關系、函數解析式的求法以及正弦函數的單調性等知識，綜合性較強，屬于中檔題．