Question

集合A是由具備下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）組成的：
①函數(shù)f（x）的定義域是[0，+∞）；
②函數(shù)f（x）的值域是[-2，4）；
③函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，分別探究下列小題：
（1）判斷函數(shù)f₁（x）=

x

-2（x≥0）及f₂（x）=4-6•（

1

2

）^x（x≥0）是否屬于集合A？并簡(jiǎn)要說明理由；
（2）對(duì)于（1）中你認(rèn)為屬于集合A的函數(shù)f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否對(duì)于任意的x≥0恒成立？若不成立，為什么？若成立，請(qǐng)說明你的結(jié)論．
（3）g（x）=x+2a f₁（x）求g（x）的最小值用a表示．

Answer 1

分析：（1）由題意得函數(shù)f₁（x）的值域[-2，+∞），排除f₁（x），判定f₂（x）的定義域、值域和單調(diào)性是否滿足條件，從而得答案；
（2）由（1）知f₂（x）屬于集合A．原不等式化為含有x的不等式，整理即可判斷；
（3）由f₁（x），求出g（x）的解析式，討論a的值，求出g（x）的最小值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f₁（x）=

x

-2（x≥0），它的值域是[-2，+∞），∴f₁（x）∉A；
對(duì)于f₂（x）=4-6•(

1

2

)x（x≥0），定義域?yàn)閇0，+∞），滿足條件①；
當(dāng)x≥0時(shí)，(

1

2

)x∈（0，1]，
∴4-6•(

1

2

)x∈[-2，4），滿足條件②；
又∵x≥0時(shí)，y=(

1

2

)x是減函數(shù)，
∴f₂（x）=4-6•(

1

2

)x是增函數(shù)，滿足條件③；
∴f₂（x）屬于集合A．
（2）f₂（x）屬于集合A，原不等式可化為4-6•(

1

2

)x+4-6•(

1

2

)x+2＜2[4-6•(

1

2

)x+1]對(duì)任意x≥0總成立；
證明：由（1）知，f₂（x）屬于集合A．
∴原不等式化為4-6•(

1

2

)x+4-6•(

1

2

)x+2＜2[4-6•(

1

2

)x+1]，
整理為：-

3

2

•(

1

2

)x＜0；
∵對(duì)任意x≥0，(

1

2

)x＞0恒成立，
∴原不等式對(duì)任意x≥0總成立．
（3）∵函數(shù)f₁（x）=

x

-2（x≥0），
∴g（x）=x+2a f₁（x）=x+2a（

x

-2）=x+2a

x

-4a=(

x

+a)2-4a-a²；
當(dāng)a≥0時(shí)，g（x）_min=g（0）=-4a，
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）_min=g（a²）=-4a-a²；
∴g（x）的最小值是g（x）_min=

-4a…(a≥0) -4a-a2…(a＜0)

．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體，綜合考查函數(shù)的定義域、值域、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，是易錯(cuò)題．