Question

集合A是由具備下列性質的函數f （x）組成的：①函數f （x）的定義域是[0，+∞）；②函數f（x）的值域是[-2，4）；③函數f（x）在[0，+∞）上是增函數．試分別探究下列兩小題：
（1）判斷函數f1(x)=

x

-2(x≥0)，及f2(x)=4-6•(

1

2

)x(x≥0)是否屬于集合A，并簡要說明理由；
（2）對于（1）中你認為屬于集合A的函數f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否對于任意的x≥0總成立？若不成立，說明理由？若成立，請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由已知可得函數f1(x)=

x

-2(x≥0)的值域[-2，+∞），從而可得f₁（x）∉A，對于f₂（x），只要分別判斷函數定義域是否滿足條件①．值域是否滿足條件②，單調性是否滿足條件③，即可得答案；
（2）由（1）知，f₂（x）屬于集合A．原不等式為4-6•(

1

2

)x+4-6•(

1

2

)x+2＜2[4-6•(

1

2

)(x+1)]，通過整理不等式可判斷．

解答：解：（1）∵函數f1(x)=

x

-2(x≥0)的值域[-2，+∞）
∴f₁（x）∉A
對于f₂（x），定義域為[0，+∞），滿足條件①．而由x≥0知(

1

2

)x∈(0，1]，
∴4-6(

1

2

)x∈[-2，4)，滿足條件②
又∵0＜

1

2

＜1，
∴u=(

1

2

)x在[0，+∞）上是減函數．
∴f₂（x）在[0，+∞）上是增函數，滿足條件③
∴f₂（x）屬于集合A．
（2）由（1）知，f₂（x）屬于集合A．
∴原不等式為4-6•(

1

2

)x+4-6•(

1

2

)x+2＜2[4-6•(

1

2

)(x+1)]
整理為：-

3

2

•(

1

2

)x＜0．
∵對任意x≥0，(

1

2

)x＞0，
∴原不等式對任意x≥0總成立

點評：本題目以新定義為載體主要綜合考查了函數的定義域、值域、復合函數的單調性的求解及判斷，屬于函數知識的綜合應用．