Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，，是的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由等腰三角形三線合一的性質可得，再由四棱柱是直四棱柱，可得，根據線面垂直的判定定理判斷可得；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角的余弦值；

解：（1）證明：∵，，∴是等邊三角形，

∴是的中點，∴.

∵四棱柱是直四棱柱，∴平面.

∵平面，∴.

∵，且平面，平面，

∴平面.

（2）解：取的中點，則，由（1）知，直線，，兩兩相互垂直，如圖，以為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系.則，，，，

∴，，.

設平面的一個法向量為，

則，即，

令，則，，可得，.

設平面的一個法向量為，則，即，

令，則，，可得，.

∴，從而，

即二面角的正弦值為.