Question

【題目】已知函數 .

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，求證： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）函數的定義域為，且.原問題轉化為考查二次函數的性質可得：

當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間，

當時， 的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）當時，原問題等價于.構造函數，則.結合導函數的性質可知當時， 取得最大值，即， 成立.

試題解析：

（1）的定義域為， .

考慮.

①當，即時， 恒成立， 在上單調遞增；

②當，即或時，由得.

若，則恒成立，此時在上單調遞增；

若，則，

此時或；

.

綜上，當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間，

當時， 的單調遞增區間為，

單調遞減區間為.

（2）當時， .

令，

.

當時， ；當時， ，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，即當時， 取得最大值，

故，即成立，得證.