Question

設O（0，0），A（1，0），B（0，1），點P是線段AB上的一點，

AP

=λ

AB

，若

OP

•

AB

≥

PA

•

PB

，則實數λ的取值范圍是

1-

2

2

≤λ≤1

．

Answer 1

分析：根據向量的坐標運算法則，算出P的坐標為（1-λ，λ），進而得到各向量的坐標，得

OP

•

AB

=2λ-1、

PA

•

PB

=2λ²-2λ，結合已知條件建立關于λ的不等式，解之即可得到實數λ的取值范圍．

解答：解：∵A（1，0），B（0，1），∴向量

AB

=（-1，1）
∵P是線段AB上的一點，滿足

AP

=λ

AB

∴設P（x，y），得

AP

=（x-1，y）=λ（-1，1）
可得

x-1=-λ y=λ

，解得P的坐標為（1-λ，λ）
∴

OP

•

AB

=（1-λ）×（-1）+λ×1=2λ-1

PA

•

PB

=（λ，-λ）（λ-1，1-λ）=λ（λ-1）+（-λ）（1-λ）=2λ²-2λ
∵

OP

•

AB

≥

PA

•

PB

，
∴2λ-1≥2λ²-2λ，解之得1-

2

2

≤λ≤1+

2

2

∵點P是線段AB上的點，得λ∈[0，1]
∴λ的取值范圍是1-

2

2

≤λ≤1
故答案為：1-

2

2

≤λ≤1

點評：本題給出關于向量數量積的不等式，求參數λ的取值范圍，著重考查了平面向量數量積和向量的坐標運算，及一元二次不等式的解法等知識，屬于基礎題．