Question

已知二次函數f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100（n∈N^*）．
（1）設函數y=f（x）的圖象的頂點的橫坐標構成數列{a_n}，求證：數列{a_n}是等差數列；
（2）在（1）的條件下，若數列{c_n}滿足c_n=1+

1

4n- 25 2 +an

（n∈N^*），求數列{c_n}中最大的項和最小的項．

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）的圖象的頂點的橫坐標為x=-

b

2a

=10-3n，推導出a_n-a_n-1=-3．由此能證明{a_n}是等差數列．
（2）由c_n=1+

1

4n- 25 2 +an

=1+

2

2n-5

，分類討論，能求出{c_n}中最小的項和最大的項．

解答：解：（1）證明：y=f（x）的圖象的頂點的橫坐標為x=-

b

2a

=-

-2(10-3n)

2

=10-3n，
∴a_n=10-3n，…（3分）
∴a_n-a_n-1=-3．…（5分）
∴{a_n}是等差數列．…（6分）
（2）∵c_n=1+

1

4n- 25 2 +an

=1+

1

4n- 25 2 +10-3n

=1+

2

2n-5

，…（8分）
當n≤2時，

2

2n-5

＜0，且c₁＞c₂，…（10分）
當n≥3時，

2

2n-5

＞0且c_n＞c_n+1．…（12分）
∴{c_n}中最小的項為c₂=-1，最大的項為c₃=3．…（13分）

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列中最大項和最小項的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．