Question

如圖，設(shè)拋物線C的方程為y²=4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為拋物線的準(zhǔn)線與其對稱軸的交點(diǎn)，過焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，若直線PM與ON相交于點(diǎn)Q，則cos∠MQN=

-

10

10

．

Answer 1

分析：由物線C的方程為y²=4x，知P（-1，0），F(xiàn)（1，0），由焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，知M（1，2），N（1，-2），所以直線PM的方程為y=x+1，直線ON的方程為y=-2x，解方程組

y=x+1 y=-2x

，得Q（-

1

3

，

2

3

）．所以

QM

=(

4

3

，

4

3

)，

QN

=(

4

3

 ，-

8

3

)，由此能求出cos∠MQN．

解答：解：如圖，∵物線C的方程為y²=4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
P為拋物線的準(zhǔn)線與其對稱軸的交點(diǎn)，
∴P（-1，0），
F（1，0），
∵焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，
∴M（1，2），N（1，-2），
∵直線PM過P（-1，0），M（1，2），
∴直線PM的方程為

y

x+1

=1，即y=x+1，
∵直線NO過點(diǎn)O（0，0），N（1，-2），
∴直線ON的方程是

y

x

=

-2

1

，即y=-2x，
∴解方程組

y=x+1 y=-2x

，得Q（-

1

3

，

2

3

）．
∴

QM

=(

4

3

，

4

3

)，

QN

=(

4

3

 ，-

8

3

)，
∴cos∠MQN=cos＜

QM

，

QN

＞=

4 3 × 4 3 + 4 3 ×(- 8 3 )

4 3 2  × 4 3 5

=-

10

10

．
故答案為：-

10

10

．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是拋物線知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．