Question

如圖，設拋物線C的方程為y²=4x，O為坐標原點，P為拋物線的準線與其對稱軸的交點，過焦點F且垂直于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，若直線PM與ON相交于點Q，則cos∠MQN=________．

Answer 1

分析：由物線C的方程為y²=4x，知P（-1，0），F（1，0），由焦點F且垂直于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，知M（1，2），N（1，-2），所以直線PM的方程為y=x+1，直線ON的方程為y=-2x，解方程組，得Q（-，）．所以，，由此能求出cos∠MQN．
解答：如圖，∵物線C的方程為y²=4x，O為坐標原點，
P為拋物線的準線與其對稱軸的交點，
∴P（-1，0），
F（1，0），
∵焦點F且垂直于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，
∴M（1，2），N（1，-2），
∵直線PM過P（-1，0），M（1，2），
∴直線PM的方程為，即y=x+1，
∵直線NO過點O（0，0），N（1，-2），
∴直線ON的方程是，即y=-2x，
∴解方程組，得Q（-，）．
∴，，
∴cos∠MQN=cos＜＞==-．
故答案為：-．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，難度大，是高考的重點，易錯點是拋物線知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．