Question

設拋物線C的方程為x²=4y，M為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，過點M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．
（Ⅰ）當M的坐標為（0，-l）時，求過M，A，B三點的圓的標準方程，并判斷直線l與此圓的位置關系；
（Ⅱ）當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使MA⊥MB？若存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設過M點的切線方程，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐標，利用M到AB的中點（0，1）的距離為2，可得過M，A，B三點的圓的方程，從而可判斷圓與直線l：y=-1相切；
（Ⅱ）設切點分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線l上的點為M（x₀，y₀），可得x₁，x₂是方程x²-2x₀x+4y₀=0的兩實根，從而k_MA•k_MB=

x1

2

•

x2

2

=y₀，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）當M的坐標為（0，-1）時，設過M點的切線方程為y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，①
令△=（4k）²-4×4=0，解得k=±1，
代入方程①得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1）．
因為M到AB的中點（0，1）的距離為2，從而過M，A，B三點的圓的標準方程為x²+（y-1）²=4．
∵圓心坐標為（0，1），半徑為2，
∴圓與直線l：y=-1相切．…（6分）
（Ⅱ）設切點分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線l上的點為M（x₀，y₀），
過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為y-y₁=k（x-x₁），因為

x

2 1

=4y1，k=

x1

2

，
從而過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為y-y₁=

x1

2

（x-x₁），
又切線過點M（x₀，y₀），所以得y₀=

x1

2

x₀-

x12

4

，即

x

2 1

-2x0x1+4y0=0．
同理可得過點B（x₂，y₂）的切線方程為

x

2 2

-2x0x2+4y0=0，…（8分）
因為k_MA=

x1

2

，k_MB=

x2

2

，且x₁，x₂是方程x²-2x₀x+4y₀=0的兩實根，
所以

x1+x2=2x0 ，   x1x2=4y0 ，

所以k_MA•k_MB=

x1

2

•

x2

2

=y₀，
當y₀=-1，即m=1時，直線l上任意一點M均有MA⊥MB，…（10分）
當y₀≠-1，即m≠1時，MA與MB不垂直．
綜上所述，當m=1時，直線l上存在無窮多個點M，使MA⊥MB，當m≠1時，直線l上不存在滿足條件的點M．…（12分）

點評：本題考查圓的方程，考查拋物線的切線，考查分類討論的數學思想，確定切線方程是關鍵．