Question

【題目】已知動點到定直線的距離與到定點的距離之比為.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）已知點，在軸上是否存在一點，使得曲線上另有一點，滿足，且？若存在，求出所有符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；或

【解析】

(1)設，根據已知條件可得，化簡即可得到點的軌跡的方程；

(2) 假設在軸上存在符合題意的點，則點在線段的中垂線上，分三種情況討論直線的斜率即：斜率不存在；斜率為零；斜率不為零；求出滿足條件點的坐標即可.

解：（1）設，由題可得，

化簡得，即，

所以曲線的方程為.

（2）假設在軸上存在符合題意的點，

則點在線段的中垂線上，由題意知直線的斜率顯然存在.

當直線的斜率為時，則，.

設，則，.

由，解得，此時.

當直線的斜率不為時，設直線的方程為.

聯立得，

則，解得，即.

的中點為.

線段的中垂線為，

令，得，即.

所以，，

所以.

由形式可以猜想，故而，

得，經驗證可知滿足上式.

下邊驗證是否還有別解：

令，上式可化為，

利用韋達定理知此方程有一個正根與一個負根，

所以，此時.

綜上，可得或.