Question

已知函數f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…anxn(n∈N*)，且y＝f(x)的圖象經過點(1，n2)，數列{an}(n∈N*)為等差數列． (1) 求數列{an}的通項公式 (2) 求n為奇函數時，設g(x)＝[f(x)－f(－x)]，是否存在自然數m和M，使不等式m＜g()＜M恒成立，若存在，求出M－m的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	據題意：f(1)＝n2即a0＋a1＋a2＋……＋an＝n2 令n＝1則a0＋a1＝1，a1＝1－a0 令n＝2則a0＋a1＋a2＝22，a2＝4－(a0＋a1)＝4－1＝3 令n＝3則a0＋a1＋a2＋a3＝32，a2＝9－(a0＋a1＋a2)＝9－4＝5 ∵{an}為等差數列， ∴d＝a3－a2＝5－3＝2，a1＝3－2＝1，an＝0，an＝1＋(n－1)·2＝2n－1
(2)	由(1)f(x)＝a1x1＋a2x2＋a3x3＋…an－1xn－1－anxn n為奇數時，f(－x)＝－a1x1＋a2x2－a3x3＋…an－1xn－1－anxn g(x)＝［f(x)－f(－x)］＝a1x1＋a3x3＋a5x5＋…＋an－2xn－2＋anxn g()＝1·＋5·()3＋9·()5＋…＋(2n－5)()n－2＋(2n－1)()n g()＝1·()3＋5·()5＋9·()7＋…＋(2n－5)()n＋(2n－1)() 相減是g()＝1·＋4［()3＋()5＋…＋()n］－(2n－1)()n+2 ∴g()＝ 令Cn＝n()n ∵Cn－1－Cn＝·()n·≤0，n∈N+ ∴Cn－1≤Cn，Cn隨n增大而減小 又·()n隨n增大而減小 ∴g()為n的增函數，當n＝1時，g()＝ 而∴g()＜ ∴使m＜g()＜M恒成立的自然m的最大值為0，M最小值為2． M－m的最小值為2．