Question

【題目】在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中點O為球心，BD為直徑的球面交PD于點M.

(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；

(2)求直線PC與平面ABM所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

(1)先證明PD⊥平面ABM，再證明平面ABM⊥平面PCD.(2) 設平面ABM與PC交于點N，連接BN，MN，再證明∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，再解三角形求得直線PC與平面ABM所成的角的正切值.

（1）證明：依題設，M在以BD為直徑的球面上，則BM⊥PD

因為PA⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，則AB⊥PD，

因此有PD⊥平面ABM，

所以平面ABM⊥平面PCD.

(2)設平面ABM與PC交于點N，連接BN，MN，

因為AB∥CD，所以AB∥平面PCD，則AB∥MN∥CD.

由(1)知，PD⊥平面ABM，則MN是PN在平面ABM上的射影，

所以∠PNM就是PC與平面ABM所成的角，

且∠PNM＝∠PCD，tan∠PNM＝tan∠PCD＝＝2.

即所求角的正切值為2.