Question

已知拋物線y²=6x，過點p（3，1）引一條弦p₁p₂使它恰好被點p平分，求這條弦所在直線方程及|p₁p₂|．

Answer 1

分析：設出P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），代入拋物線方程后作差得到p₁p₂的斜率，由點斜式得到直線方程；聯立直線方程和拋物線的方程，利用弦長公式求弦長．

解答：解：設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
則

y12=6x1① y22=6x2②

，①-②得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=6（x₁-x₂）．

y1-y2

x1-x2

=3．即kP1P2=3．
所以過P（3，1）的直線方程為y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
再由

y2=6x 3x-y-8=0

，得y²-2y-16=0．
則y₁+y₂=2，y₁y₂=-16．
所以|P₁P₂|=

1+ 1 9

(y1+y2)2-4y1y2

=

10 9

22+64

=

2

3

170

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了“點差法”求中點弦的斜率，考查了弦長公式，是中檔題．