Question

【題目】已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析.

【解析】

（1）由已知可得：， ，，即可求得，結合已知即可求得：，問題得解.

（2）設，可得直線的方程為：，聯立直線的方程與橢圓方程即可求得點的坐標為，同理可得點的坐標為，當時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點，當時，直線：，直線過點，命題得證.

（1）依據題意作出如下圖象：

由橢圓方程可得：， ，

，

，

橢圓方程為：

（2）證明：設，

則直線的方程為：，即：

聯立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：

，解得：或

將代入直線可得：

所以點的坐標為.

同理可得：點的坐標為

當時，

直線的方程為：，

整理可得：

整理得：

所以直線過定點．

當時，直線：，直線過點．

故直線CD過定點．